Задача 1.

Если Браун выиграет хоть один раз за 36 игр, он не потерпит убытка. Вероятность проиграть все 36 раз равна (37/38)³⁶=0,383. Математические ожидания выигрыша в одной игре есть 35*(1/38)-1*(37/38)= -2/38, а в 36 играх: -2*36/38= -1,89. При игре против благожелательного друга, математическое ожидание выигрыша равно 20*0,617-20*0,383=4,68. В итоге Браун в среднем получит 4,68-1,89=2,79 доллара за 36 игр и будет в выигрыше. Возможно, благожелательный друг будет сам переубежден. Разумеется, если Браун проиграет все 36 игр, то потеряет 56 долларов, что весьма неприятно.

Задача 2.

Введем три дополнительных события: A₁ - выбранная урна имеет 2 белых и 1 черный шар; A₂ - выбранная урна - имеет 3 белых и 2 черных шара; A₃ - выбранная урна содержит 1 белый и 2 черных шара. Теперь ясно, что P(A₁)=1/6, P(A₂)=1/3, P(A₃)=1/2 и P(B/A₁)=2/3, P(B/A₂)=3/5, P(B/A₃)=1/3. Отсюда, P(B)=(1/6)*(2/3)+(1/3)*(3/5)+(1/2)*(1/3)=43/90.

Задача 3.

Так как номер любого шара, наводящегося в ящике, не превышает 10, то число случаев, благоприятствующий событию A, равно числу всех возможный случаев, т.е. m=n=10 и P(A)=1. В этом случае событие A достоверно.

Задача 4.

Т. к. синих шаров в урне нет, т. е. m=0, а n=15. Следовательно, P(A)=0/15=0. В данном случае событие A - невозможное.

Задача 5.

Так как P(A)=0,75, P(B)=0,8, P(C)=0,96, то P(ABC)=0,750*0,8*0,9=0,54.

Задача 6.

Здесь P(A)=1-0,75=0,25 (вероятность промаха первого стрелка); P(B)=1-0,8=0,2 (вероятность промаха второго стрелка); P(C)=1-0,9=0,1 (вероятность промаха третьего стрелка).

Тогда P(ABC) - вероятность одновременного промаха всех трех стрелков определится следующим образом: P(ABC)=0,250*0,2*0,1=0,005.

Но событие, противоположное событию ABC, заключается в поражении цели хотя бы одним стрелком. Следовательно, искомая вероятность ABC, т. е. P=1-0,005=0,995.

Задача 7.

Ответ равен 4/7. Второй по мастерству игрок может занять второе место лишь в том случае, когда он находится в половине турнирной лестницы, не занимаемой лучшим игроком. Если в турнире участвуют 2_n игроков, то в положении турнирной таблицы, не занимаемой лучшим игроком, 2_n-1 начальных ступеней, а всего имеется 2_n-1 начальных ступеней (кроме занятой лучшим игроком). Таким образом, в турнире с 2_n игроками второй по мастерству может с вероятностью 2_n-1/(2_n-1) занять второе место.

Задача 8.

Поезда в направлении к невесте останавливаются у перрона, куда приходит Мэрвин, скажем, в 15:00, 15:10, 15:20 и т.д. Чтобы поехать к матери, Мэрвин должен попасть в одноминутный интервал между поездами указанных типов.

Задача 9.

Если A и B освобождаются, и охранник говорит B, вероятность 1/5.

Если A и C освобождаются, и охранник говорит C, вероятность 1/3.

Если B и C освобождаются, и охранник говорит B, вероятность 1/6.

Если B и C освобождаются, и охранник говорит C, вероятность 1/6.

Если на вопрос охранник отвечает A, то вероятность освобождения B равна вероятности исхода 1, деленной на сумму вероятностей исхода 1 и 3.

Таким образом, вероятность освобождения A равна 1/3*(1/3+1/6)=2/3.

Задача 10.

Вероятность извлечения белого шара p=20/30=2/3 можно считать одной и той же во всех четырех испытаниях: q=1-p=2/3. Используя формулу Бернулли, получаем P=((4*3)/(1*2))*(2/3)²*(1/3)²= 8/27.

Задача 11.

Вероятность рождения девочки p=0,5, тогда вероятность рождения мальчика q=1-p=0,5. Значит, искомая вероятность P=((5*4*3)/(1*2*3))*0,5³*0,5²= 5/16.

Задача 12.

P=(1/2)⁵=1/32

P=5*(1/2)⁵=5/32

P=10*(1/2)⁵=5/16

P=10*(1/2)⁵=5/16

P=1/32+5/32+5/16+5/16=13/16

Ответом будет 13/16.

Задача 13.

Здесь n=25, p=0,7, q=0,3, Следовательно, 25*0,7-0,3<m₀<25*0,7+0,7, т. е. 17,2<m₀<18,2. Так как m - целое число, то m₀=18.

Задача 14.

Имеем, что n=40, р=1/7, q=6/7. Таким образом, 40*(1/7)-6/7<m₀<40*(1/7)+1/7, 34/7<m₀<41/7, т. е. m₀=5.

Задача 15.

Здесь n=14, p=10/50=1/5, q=1-p=4/5. Используя двойное неравенство n*p-q<m₀<p*(n+1) при указанных значениях n, p, q получим 14/5+1/5, т. е. 2<m₀<3. Таким образом, задача имеет два решения: m₀₁=2; m₀₂=3.

Задача 16.

Победит в матче Аня, если она выиграет 4, 5 или 6 партий. Вероятность этого события по формуле Бернулли и формуле сложения равна: P=(2/3)⁴*(1/3)²+(2/3)⁵*(1/3)+(2/3)⁶=0,68.

Для Лизы вероятность победы в матче равна: P=(1/3)⁶+(1/3)⁵*(2/3)+(1/3)⁴*(2/3)⁶=0,1.

Вероятность ничьей победы равна: P=(2/3)³*(1/3)=0,22.

Задача 17.

Оба типа жюри имеют одинаковую вероятность вынести правильное решение. В самом деле, два серьезных члена жюри будут голосовать за справедливое решение с вероятностью p*p=p², при этом результат голосования третьего члена жюри не существенен. Если же эти судьи расходятся во мнениях, вероятность чего равна p(1-p)+(1-p)p=2p(1-p), то для нахождения вероятности правильного решения это число надо умножить на 1/2. Таким образом, полная вероятность вынесения справедливого решения жюри из трех человек равна p²+p(1-p)=p, что совпадает с соответствующей вероятностью для жюри из одного человека.

Задача 18.

Когда мы бросаем монету на стол, то некоторые области положения центра тяжести монеты вероятнее других, но если квадрат достаточно мал, можно считать, что распределение вероятностей равномерно. Это значит, что вероятность попадания центра в какую-либо область квадрата пропорциональна площади области, деленной на площадь квадрата.

Так как радиус монеты равен 3/8 дюйма, то для выигрыша игрока центр не должен находиться ближе, чем 3/8 дюйма от сторон квадрата. Этому ограничению отвечает квадрат со стороной 1/4 дюйма, внутри которого должен лежать центр монеты. Так как вероятности пропорциональны площадям, то вероятность выигрыша равна (1/4)²=1/16. Разумеется, монета вообще может не попасть на стол, и вероятность выигрыша на самом деле еще меньше. Квадраты также могут быть уменьшены за счет утолщения линий. Если эти линии имеют толщину в 1/16 дюйма, то выигрышной области соответствует вероятность (3/16)²=9/236, или меньше 1/28.

Задача 19.

Следовательно, в семьях, где двое детей, среди которых есть мальчик, возможны три одинаково вероятных случая: ММ, МД, ДМ. Мы видим, что в двух из этих случаев ребенок является девочкой, а в одном - мальчиком.

Значит, вдвое более вероятно, что ребенок является девочкой.

На главную стр.

На предыдущую стр.

На следущую стр.