Когда мы подбрасываем монету, мы не знаем, что именно выпадет - "герб" или"решка". Однако кое-что мы все же знаем. Мы знаем, что шансы выпадения как "герба", так и - "решки" одинаковы. Точно так же мы знаем, что одинаковы шансы выпадения любой из шести граней игрального кубика. В обоих примерах равенство шансов связано с симметрией. Симметрична монета, симметричен кубик. Будем называть равновозможными - исходы, имеющие одинаковые шансы. Выпадение "герба" и выпадение "решки" - равновозможные исходы. Предположим, что нас интересует определенный результат бросания игрального кубика, например, выпадение грани с числом очков, делящимся без остатка на три. Будем называть благоприятными исходы, при которых получается этот результат. В данном случае имеем два таких исхода - выпадение тройки и выпадение шестерки. Наконец, будем называть исходы несовместимыми, если при появлении одного из них в единичной испытании, исключается появление другого в том же испытании. Выпадения граней при бросании кубика - несовместные исходы.

Теперь мы можем сформулировать классическое определение вероятности.

Вероятностью события называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу несовместных равновозможных исходов.

Пусть P(A) - вероятность события A, m(A) - число благоприятный исходов, а n - общее число несовместных равновозможных исходов. На основании этого мы можем ввести главные теоремы теории вероятностей:

Теорема 1. Вероятность любого события есть неотрицательное число, не превосходящее единицы.

Число m случаев, благоприятствующих любому событию, не может быть отрицательным и большим, чем их общее число n, т. е. 0<m<n. Разделив это неравенство почленно на n, получим 0<m/n<1 или, учитывая, что P(A)=m/n, то 0<P(A)<1.

Теорема 2. Вероятность достоверного события равна единице.

Это очевидно, так как достоверному событию должны благоприятствовать все n единственно возможных, равновозможных несовместимых случаев, т. е. m=n.

Теорема 3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Невозможному событию не может благоприятствовать ни один из n единственно возможных, равновозможных и несовместимых случаев, т. е. m=0.

Пусть событие A - выпадение грани кубика с числом очков, делящимся без остатка на три. В этом случае m(A)=2. Поскольку n=6, то вероятность данного события 1/5, Рассмотрим еще один пример. В мешке находится 15 шаров, различающихся только по цвету (7 белых, 2 зеленый и 6 красных). Вы вытаскиваете наугад один шар. Какова вероятность того, что извлеченный из мешка шар окажется белый? Извлечение белого шара будем рассматривать как событие A, красного - как событие B, зеленого - как событие C. Число исходов, благоприятных для извлечения шара того или иного цвета, равно числу шаров соответствующего цвета m(A)=7, m(B)=6, m(C)=2. Используя формулу классического определения вероятности и учитывая, что n=15, находим, искомые вероятности P(A)=m(A)/n=7/15, P(B)=m(B)=2/5, P(C)=m(C)/n=2/15.

Всё началось с игры в кости

Случай, случайность - с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находка, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики - какие уж законы в царстве Случая? Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности - они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

Но прежде, чем рассказать о закономерностях случайности, попытаемся ответить на вопрос: "Что такое азартная игра?". Уверены, что большинство считает - это игра на деньги. Неверно. На деньги можно играть и в теннис, и в шахматы. Теннисисты и шахматисты получают большие гонорары за выигрыши в турнирах. А вот карты - азартная игра. Почему? Потому, что в ней главную роль играет случай - от него зависит, какие именно карты окажутся у партнеров. Или другая игра, где властвует случай - игра в кости. Остановимся на ней подробнее: именно с нее математики начали изучать его величество Случай.

Игральная кость, непременный атрибут многих настольных игр - маленький кубик, грани которого помечены цифрами или точками.

Проследим, как выпадает шестерка при бросании кубика. Предположим, что кубик совершенно правильный - все его грани абсолютно одинаковы. Если подбрасывать кубик десять раз, то числа могут выпадать примерно в такой последовательности: 1, 5, 2, 2, 5, 4, 1, 6, 5, 5 или в совершенно другой: 6, 5, 4, 6, 5, 1, 2, 3, 6, 5. В первом случае шестерка выпала один раз, а во втором - три раза. Может быть случайность, что шестерка не выпала ни разу или выпала все десять раз.

А если подбрасывать кубик не десять раз, а десять тысяч раз? Тогда каждая из граней будет выпадать примерно одинаково часто. Что это значит? Пусть Nk - количество выпадений грани с цифрой k при N бросаниях кубика, тогда отношение Nk/N, которое называется частотой выпадения грани k, будет приблизительно одинаково для всех граней кубика. Поскольку N₁+N₂+N₃+N₄+N₅+N₆ = N, то все частоты будут близки к одной шестой. Сама величина один к шести называется вероятностью, выпадения как шести, так и пяти, четырех и т.д.

Событие будем обозначать A - 6, B - от четырех до шести, C - от одного до пяти. Вероятность произвольного события x будем обозначать через P(x). Исход какого-либо испытания, опыта или игры, выражающийся в событии A назовем шансом события A. Например, при бросании игральной кости возможны шесть равновероятных исходов A₁, A₂, A₃, …, A₆ - выпадение 1, 2, …6 очков. Пусть событие A означает выпадение четного числа очков, то есть 2, 4 или 6. В этом случае P(A)=3/6=1/2, то есть вероятность P(A) равна отношению числа шансов события A к общему числу равновероятных исходов. Такое определение называется классическим определением вероятности.

Итак, если при каких-либо условиях имеются r вероятных исходов и s из них приводят к событию А, то вероятность Р(А) события А равна отношению s/r.

На главную стр.

На предыдущую стр.

На следущую стр.