"Случай играет в мире столь большую роль, что обыкновенно я стараюсь отвести ему как можно меньше места в уверенности, что и без моей помощи он позаботится о себе."

A. Дюма

345 лет назад, в 1657 году, было опубликовано сочинение выдающегося голландского ученого Христиана Гюйгенса "О расчетах при игре в кости", которое является одним из первых исследований в области теории вероятностей.

Трудно установить, кто впервые поставил вопрос, пусть и в несовершенной форме, о возможности количественного измерения возможности появления случайного события. Ясно только, что более или менее удовлетворительный ответ на этот вопрос потребовал большого времени и значительных усилий выдающихся исследователей целого ряда поколений.

Обычно считают, что теория вероятностей возникла в середине XVII столетия, причем ее появление связывают с именами П. Ферма (1601-1665), Б. Паскаля (1623-1662) и Х. Гюйгенса (1629-1695). В работах этих ученых в зачаточном виде фигурировали понятия вероятности случайного события и математического ожидания случайной величины. Отправным пунктом исследований являлись задачи, связанные с азартными играми, особенно играми в кости, поскольку при их изучении можно ограничиваться простыми и понятными математическими моделями. Однако ученые понимали важность новых понятий, например, Гюйгенс в сочинении "О расчетах при игре в кости" писал: "...думаю, при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории".

Одной из задач, давших начало теории вероятностей, является знаменитый парадокс игры в кости, разрешенный еще в "Книге об игре в кости" Д. Кардано (1501-1576), которая вышла лишь в 1663г.

Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1, 2, 3, 4, 5, 6. В случае бросания двух костей сумма выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 из чисел 1, 2, ..., 6 можно получить двумя разными способами: 9=3+6= или 9=4+5 и 10=4+6 или 10=5+5. В задаче стремя костями и 9, и 10 получаются шестью способами. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10 - когда бросают три?

В свое время эту задачу считали очень трудной. Часто и сейчас забывают о необходимости учета порядка выпадения костей. В случае двух костей 9 и 10 могут получиться следующим образом: =3+6, или 9=6+3, или 9=4+5, или =5+4 и 10=4+6, или 10=6+4, или 10=5+5. Это значит, что при двух костях 9 можно "выбросить" четырьмя способами, а 10 - лишь тремя. Следовательно, здесь шансы получить 9 предпочтительней. В случае трех костей ситуация меняется на противоположную: 9 можно "выбросить" 25 способами, а 10 - уже 26 способами. Потому 10 получается чаще, чем 9.

Значительное влияние на развитие теории вероятностей оказали Д. Бернулли (1654-1705), А. Муавр (1667-1754), Т. Байес (1702-1763), П. Лаплас (1749-1827), К. Гаусс (1777-1855), С. Пуассон (1781-1840).

Например, Д. Бернулли принадлежит первое доказательство одного из важнейших положений теории вероятностей - так называемого "закона больших чисел". Теорема, которую он доказал, устанавливает связь между вероятностью события и частотой его появления (при достаточно большом числе опытов можно с практической достоверностью ожидать сколь угодно близкого совпадения частоты с вероятностью). Рассмотрим пример бросания монеты, в котором вероятность появления "герба" и "надписи" одинакова и равна 1/2. При десяти бросаниях появление десяти "гербов" или десяти "надписей" очень маловероятно. Но и утверждать, что "герб" выпадет ровно 5 раз, нет достаточных оснований. Более того, утверждая, что "герб" выпадет 4, 5 или 6 раз, мы еще довольно сильно рисковали бы ошибиться. Но при ста бросаниях монеты можно с достаточной уверенностью говорить, что число выпавших "гербов" будет лежать между 40 и 60.

Развитие теории вероятностей тесно связано с традициями и достижениями русской науки. Фундаментальные результаты были получены П. Л. Чебышевым (1821-1894), А. М. Ляпуновым (1857-1918), позже большой вклад в ее развитие внесли Е. Е. Слуцкий (1903-1987) и ряд других.

Мир есть закономерное движение материи, определяющее всеобщую взаимосвязанность явлений, внутреннюю сцепляемость причин и следствий, проявляющуюся в том, что в данных условиях необходимо наступает такое-то событие, а не иное. И все же, не что не происходит без вмешательства случайности, возникающей под воздействием непостоянных причинных связей, изменяющих ход явления при его повторении. Многочисленность и преобладание таких влияний создают "эффект случайности" - сложную, всеобъемлющую закономерность "скрытой предопределенности". Так возникает и, следовательно, существуют случайные явления - совокупности непредсказуемых случайных явлений.

Это значит, что существуют специфические закономерности, управляющие однородными массами случайных событий.

Открыть закономерность в хаосе событий, найти гармонию в стихии неопределенности, многопричинности и тоже "алгеброй поверить" - вот увлекательный и дерзновенный замысел науки о случайном.

Для решения задач, возникающих при изучении массы случайных явлений, потребовалось создание специальных методов, позволяющих глубже анализировать явления с учетом присущих им элементов случайности. Возникла и разветвилась "математика случайного" - наука, которую затем назвали теорией вероятности.

Теория вероятностей раскрывает объективные закономерности, присущие массовым явлениям. Ее методы не дают возможности предсказать исход отдельного случайного явления, но позволяют предсказать средний суммарный результат массы однородных случайных явлений. Следовательно, зная законы, управляющие массами случайных явлений, можно добиваться в случае необходимости целенаправленного изменения хода случайных явлений, их контролирования, уменьшения, а если нужно, то увеличения их влияния на практику.

Так как понятие вероятности существует во многих науках от физики до биологии, от астрономии до экономики, от медицины до микромира, то оговорю сразу, что в данном электронном учебнике речь идет о математической теории вероятностей.

Математическая вероятность - числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях, т. е. характеристика объективно существующей связи между этими условиями и событием.

Математическая вероятность является выражением качественно своеобразной связи между случайным и необходимым. При изложении теории вероятностей формулируются в виде аксиом те свойства вероятности, которые на данном этапе развития науки необходимы для ее развития. Однако ни эти аксиомы, ни классический подход к вероятности, ни статистический подход не могут дать исчерпывающее определение реального содержания понятия вероятности, они являются лишь известными приближениями ко все более полному его раскрытию. Далеко не всякое событие, наступление которого при заданных условиях не является однозначно определенным имеет при этом комплексе условий определенную вероятность. Предположение, что при данных условиях для данного события вероятность, т. е. вполне определенная нормальная доля числа появлений данного события при большом числе повторений данных условий, существует, является гипотезой, которая в каждом отдельном вопросе требует специальной проверки или обоснования. Например, имеет смысл говорить о вероятности попадания в цель заданных размеров с заданного расстояния из винтовки известного образца стрелком, вызванным наудачу из определенного воинского подразделения. Однако было бы бессмысленно говорить о вероятности попадания в цель, если об условиях стрельбы ничего не известно.

На главную стр.

На следущую стр.